日々是学び 株式会社ジンジャーアップ

2012年5月8日数学

量子力学の数学55：作用素の平方根と絶対値

2012年4月26日トピックス

近況報告：（個人的に）東大でのセミナーをはじめました

2012年4月23日数学

量子力学の数学54：作用素の積分表示

2012年4月20日ニュース

ゴールデンウィークのお休み：4/29から5/5まで

2012年4月17日トピックス

近況報告：学術系の新企画に向けて

ゴールデンウィークのお休み：4/29から5/5まで

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元にしている書物は「量子力学の数学的構造」だ．例や証明は直接こちらをあたってほしい．ここではなるべく本に書いていない話，関連する話，アドバンストな話にフォーカスして議論するつもりだ．

この書物に沿ったスペクトル定理の証明中，「作用素の極形式」が出てくるのでその準備をする．量子力学的に言って，一般の作用素は大体複素数のようなものだ．複素数で極形式 $z = r e^{i \theta}$ がある．これの作用素版を考えるときに例えば作用素の絶対値が必要になる．絶対値の定義自体に平方根を使っているのでそこまで必要になる．いくら大体複素数と言っても作用素はあくまで作用素なので，数と同じ定義や議論がそのまま使えるわけではない．

またもっと一般に作用素の関数を定義できるし，実用上必要なのだがそれはスペクトル定理本体を使うことになる．前から何度か言っているが，大事な作用素の関数としては例えば一径数ユニタリ群 $U_t = e^{itH}$ がある．

非有界作用素に対しても定義できるし，実際する必要もあるがまずは有界作用素の場合を考える．

補題 2.56 $A \in \mathbb{B} (\mathcal{H})$ を非負の自己共役作用素とする．このとき $A = B^2$ を満たす非負の自己共役作用素 $B \in \mathbb{B} (\mathcal{H})$ が唯一つ存在する．

証明のアイデアは単純だ．まず色々と面倒なので $C = A / \Vert A \Vert$ としてノルムが 1 以下の作用素 $C$ を定義してこれについて考える．それで複素関数 $f (z) = \sqrt{1-z}$ の原点回りの Taylor 展開 $f(z) = \sum c_n z^n$ を考える．この $z$ に $1 – C$ を代入して収束することを示し，その極限で $B$ を定義する．もちろん正確には $B / \sqrt{\Vert A \Vert}$ だが．

ここで上の補題での $B$ を $A$ の平方根と呼び $\sqrt{A}$ や $A^{1/2}$ と書く．

何にせよ，存在して唯一つなことは間違いないのでこれを認めよう．その上で「任意の」有界作用素 $A$ に対してその平方根 $|A|$ を次のように定義する：
\[
|A|
:=
\sqrt{A^*A}.
\]
$A^*A$ をかましているのがポイントだ．これは複素数で言えば $\bar{z}z = |z|^2$ にあたる．この辺りは数の特徴を抽出してうまいこと定義に繋げている．

例 2.19 にはかけ算作用素での例が出ている．素直な一般化になっていることが分かるので，きちんと読んでおいてほしい．

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最近また更新をさぼり気味なのですが、今、専門教育の調査と趣味を兼ねて個人的に東大でのセミナーに参加しています。そちらの準備でてんやわんやになっている状態です。自分の専門に近いとはいえ、きちんと突っ込んで議論したことがない事柄ばかりなので、かなり苦労しています。

何かの形で必ず様子を報告しようとは思っていますが、まずはセミナーへのキャッチアップを頑張ります。量子力学や熱力学の話をやっている余裕がないので、更新について 7 月くらいまでどうするか、作戦を練り直している最中です。今しばらくお待ちください。

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元にしている書物は「量子力学の数学的構造」だ．例や証明は直接こちらをあたってほしい．ここではなるべく本に書いていない話，関連する話，アドバンストな話にフォーカスして議論するつもりだ．

前回スペクトル定理を紹介した．定理2.52 で存在が示された作用素 $A$ は象徴的に次のように書く．
\[
A
=
\int_{\mathbb{R}} f (\lambda) dE(\lambda).
\]
これはあくまで象徴的な書き方で，意味はあくまで内積を引っ掛けた形で決めている．これが便利なのは証明に積分論が援用できることだ．単に作用素を引きずっていると捉え所がないが，積分に叩き落とすと評価がしやすくなる．もちろん本質的には変わらない評価をする場合がメインだが．2 巻からは実際に証明中でその例が出る．これ自体がきわめて強烈な定理だが，使い込んではじめて味が出る部分もある．

作用素を具体的に積分で書き下す方向についてはもっと強い結果もある．それはいわゆる経路積分だ．こちらもメインは先程と同じく作用素論が積分論に叩き落とせることがポイントになる．特に強いのは，積分核による表示が使えると各点評価が使えることだ．例えば反磁性不等式というのがある．量子力学版も場の理論版もある．これは作用素論ベースの評価もあるが，経路積分を使った評価もある．この場合，経路積分ベースだと積分核を使ってほぼ自明に叩き出せる．もちろん経路積分表示を証明するのが骨なのだが，それに見当った御利益になる．

次回は有界作用素に対するスペクトル定理に入ろう．

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ゴールデンウィーク中のお休みの予定をご連絡いたします。

4/29 から 5/5 までお休みを頂きます。

5/1、5/2 もお休みを頂きますのでご注意ください。

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最近更新が滞っていてとてもとてもよろしくないのですが、学術、特に数学系統でいろいろ画策して、その勉強をしています。一応簡単に書いておくと次のような感じです。

1. 数理物理などきわめて専門性の高い問題に対する企画。
2. 獣医学プロジェクトにかかわる企画。
3. ゆるめの学術系の企画。
4. 文系の数学、特に経済学に使う数学に対する企画。

それぞれ大雑把に説明します。1. はここでも書いているような、私の学生時代の専門に関する話です。数理物理というのは数学的にきっちり物理をやろうという話ですが、特に私の専門に限って言えば、対応する分野で理論物理・実験物理でこの辺をやっている人は掃いて捨てるほどいるのに数学的にきちんとやっている人は世界的にもほとんどいません。この事情を上手く使って変なことをしよう、という企画です。これについては、まず私個人のレベルで実際に東大にいる物理の知り合いとセミナーをしようという実際に話が進んでいます。少なくとも東京近郊で対応できるのは私を除けば教官クラスしかいないようなので、博士と物理で遊んできます。本当に「遊び」気分で行くと学術的にタコ殴りにあうので、気迫と覚悟はいりますが、そういう「遊び」です。

獣医学プロジェクトについては先日お伝えしたお話です。プロジェクトそのものがきわめて専門性が高い話題ですし、効果的・効率的な専門教育について真剣に考える場として、弊社でも全力を傾けて取り組んでいます。

3. はまだほとんど何も固まっていませんが、上の話はガチガチの話ばかりなのでもう少しゆるい方向で何かできないか、それもきちんと考えましょうという程度です。面白い話が出次第、こちらもどんどんご紹介したいと思っています。

4. ですが、3． からの派生とも言えます。知り合いで今年の春から大学生になった方や経済の学生などがいますが、数学で苦労しているようなので、そこに何かできないかという話です。こちらも会社でどうというより、まずはリサーチを兼ねて私個人のレベルで色々動き始めています。

まだペースが掴めなくて更新が滞ってしまいましたが、こちらの更新も立て直していきます。

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Google サイエンスフェアなる企画があるようなのでご紹介します。Google がオンラインの科学コンテストを開くということで、世界中の 13 才から 18 才のすべての学生に門戸を開いています。今年の分の応募は締め切ったようですが、来年もまた開くようです。よくある質問から企画意図を抜き出してきましょう。

Google サイエンス フェアについて:

Google サイエンス フェアとは？
Google サイエンス フェアは、オンラインの科学コンテストで、世界中の 13 歳から 18 歳のすべての学生に門戸が開かれています。

なぜ Google がオンラインの科学コンテストを主催するのですか？
Google は、テクノロジーと情報へのアクセスがすべての人に行き渡ることで世界がよりよくなる、また、有用な情報へのアクセスが必要であることに国境は無関係だと考えています。Google サイエンス フェアは、科学分野の若い才能を称え、世界中の学生に自分たちのアイデアを共有、披露する機会を与えることで、こうした目標を支えるために企画されました。

時々思うのですが、こうしたハイエンドの企画はあっても中間層を狙った企画はあまり見受けられません。地味なので狙いづらいのも分かりますが、何かその辺で面白いことをしてみたいというのを前から考えています。私個人のレベルですが、まずは調査も兼ねて色々やりはじめています。形になったらどんどん発表していくつもりです。

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元にしている書物は「量子力学の数学的構造」だ．例や証明は直接こちらをあたってほしい．ここではなるべく本に書いていない話，関連する話，アドバンストな話にフォーカスして議論するつもりだ．

ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 上にスペクトル族が与えられると，$\mathbb{R}$ 上の連続関数に対して $\mathcal{H}$ 上の閉作用素が同伴する．ここではまだスペクトル族が必ず存在するとは言っていないことに注意してほしい．これの逆(の一部)，自己共役作用素にスペクトル族が同伴すると言えばいいのだが，それは後に回す．これも後でやるが連続関数である必要もなく，適当に可積分な関数で十分だ．

定理2.52 任意の $f \in C(\mathbb{R})$ に対して $\mathcal{H}$ の稠密に定義された次を満たす線型作用素 $A$ がただ一つ存在する．
\[
\mathrm{dom} \, A
=
{ \Psi \in \mathcal{H} : \int_{\mathbb{R}} |f(\lambda)|^2 d \langle \Psi, E(\lambda) \Psi \rangle < \infty},
\]
\[
\langle \Phi, A \Psi \rangle
=
\int_{\mathbb{R}} f(\lambda) d \langle \Phi, E(\lambda) \Psi \rangle, \quad \Phi \in \mathcal{H}, \Psi \in \mathrm{dom}\, A.
\]
さらに次が成立する．

(i) 任意の $\Psi \in \mathrm{dom} \, A$ に対し
\[
\Vert A \Psi \Vert^2
=
\int_{\mathbb{R}} |f(\lambda)|^2 d \langle \Psi, E(\lambda) \Psi \rangle.
\]

(iv) $A$ は閉である．

(v) $f$ が実数値なら $A$ は自己共役である．

(vi) $f$ が有界なら $A$ も有界で
\[
\Vert A \Vert
\leq
\Vert f \Vert_{\infty}.
\]

(vii) $|f(\lambda)| = 1$ なら $A$ はユニタリになる．

特に注目するところだけ抜き出しておいたが，省略した部分ももちろん大事だ．本を参照してほしい．まず大事なのは $f$ に有界性はいらないことだ．その代わりあてるベクトル $\Psi$ の方に条件をつける．スペクトル族で「高エネルギー部分」を切り落とせば必ず作れることは後で嫌でも分かる．例えば解析ベクトルの議論などで出てくるだろう．勝手に定義域が稠密になってくれるのは連続性の賜物である．可測なだけだともう少し条件はつくが物理的にはほとんど制約にならないだろう．また積分さえ上手く定義できればいいので，そこから連続性は外せることは想像がつくと思う．もちろん極限処理がいるのでそれ相応に面倒だが．

(v), (vi), (vii) は応用上大事だ．良く自己共役作用素の関数を作るのだが(例えば $e{-tA}$)，これらの自己共役性はあてた関数を見るだけで分かる．有界性が分かるのも便利なことがある．少なくとも非相対論的量子力学ではハミルトニアンは大抵下に有界になる．このとき上で見た $e^{-tA}$ は有界になる．これは虚時間化した量子力学，経路積分で使う．有界だと半群になることが簡単に分かり，色々な議論がスムーズにいく．興味がある方は「量子現象の数理」や「量子数理物理学における汎関数積分法」を読んでほしい．

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元にしている書物は「量子力学の数学的構造」だ．例や証明は直接こちらをあたってほしい．ここではなるべく本に書いていない話，関連する話，アドバンストな話にフォーカスして議論するつもりだ．

一部，前回も書いたが正確にスペクトル族を定義しよう．$\mathcal{H}$ をヒルベルト空間とする．

定義 2.50 ${E_(\lambda)}$ を $\mathcal{H}$ 上の射影作用素の族とする．これが
\[
E(\lambda) E(\mu)
=
E(\mu) E(\lambda)
=
E(\mathrm{min}{\lambda, \mu}), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R},
\]
\[
\text{s-}\lim_{\lambda \to \infty} E(\lambda)
=
1, \quad
\text{s-}\lim_{\lambda \to - \infty}E(\lambda)
=
0,
\]
\[
E(\lambda+0)
:=
\text{s-}\lim_{\varepsilon \to +0} E(\lambda + \varepsilon)
=
E(\lambda),
\]
を満たすときスペクトル族あるいは単位の分解と呼ぶ．最後の性質は右連続性という．

あとでスペクトル測度も出てくる．こちらの方が良く使うが，スティルチェス積分との絡みでこちらからやった方がもう少し馴染みやすい気はする．ほぼダイレクトにスペクトル測度から入る流儀もある．例えば，日合・柳の「ヒルベルト空間と線型作用素」を参考にしてほしい．

$E(\lambda)$ が右連続なので，複素数値関数 $\lambda \to \langle \Psi, E(\lambda) \Phi \rangle, \Psi, \Phi \in \mathcal{H}$ は右連続になる．つまり適当な関数(例えば連続な関数) $f$ に対してスティスチェス積分が定義できる．この積分でスペクトル積分を定義する．

次回はスペクトル族に付随する自己共役作用素について考える．大事なのはこの逆，自己共役作用素に付随するスペクトル測度だ．

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元にしている書物は「量子力学の数学的構造」だ．例や証明は直接こちらをあたってほしい．ここではなるべく本に書いていない話，関連する話，アドバンストな話にフォーカスして議論するつもりだ．

応用上よく出てくるのはスペクトル測度の方だが，ステップとして一応スペクトル族もやっておこう．前回と同じく有限次元で考える．$H$ をエルミート行列として，固有値を $\lambda_j$ とする．任意の $\lambda \in \mathbb{R}$ に対して次の作用素を定義する．
\[
E_H (\lambda)
:=
\sum_{\lambda_j \leq \lambda} P_j.
\]
ここで $P_j$ は $\lambda_j$ の固有空間への射影だ．和は $\lambda_j \leq \lambda$ となる $j$ について取る．なければ 0 とする．

エルミート行列の一般論から次の式が成立する．
\[
E_H(\lambda) E_H(\mu)
=
E_H(\mu) E_H(\lambda)
=
E_H(\mathrm{min}{\lambda, \mu}), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R},
\]
\[
\text{s-}\lim_{\lambda \to \infty} E_H(\lambda)
=
1, \quad
\text{s-}\lim_{\lambda \to - \infty}E_H(\lambda)
=
0,
\]
\[
\text{s-}\lim_{\varepsilon \to +0} E_H(\lambda + \varepsilon)
=
E_H(\lambda).
\]
あとで一般論の中でも定義するが，これがスペクトル族の定義になる．有限次元で持っているこの性質を元に無限次元でも定義をしている．無限次元で実際にあるのかはきちんと証明が必要だ．

あとスペクトル積分を定義しておこう．一旦 $f$ を連続関数とする．スティルチェス積分のように次の和が行列空間上で定義できる．
\[
S_n(f)
=
\sum_{k=1}^n f(x_k) [E_H(x_k) - E_H(x_{k-1})].
\]
ここで $x_k$ は区間 $[a,b], a<b$ の分割として取っている．適当な分割を取れば，各区間には $\lambda_k$ が一つしかないようにできる．つまり
\[
S_n(f)
=
\sum_{j=1}^k f(\lambda_j) P_j
\]
と書ける．分割についての極限が存在するので
\[
\lim S_n(f)
=
f(H)
=
\int_a^b f(\lambda) dE_H(\lambda)
\]
となる．特に
\[
H
=
\int_a^b \lambda dE_H(\lambda).
\]
最後の式がそのままスペクトル分解として一般化される．この式は Dirac の本などで無限次元で一般化された固有値展開として，離散的な固有値と連続的な「固有値」を分けて書いた式を一本にまとめる方法としても理解できる．

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私の場合、大体借りたい本は大学に行けばあるといえばあるのですがやはりやや遠いので、近所にあると助かります。その辺の本屋さんには置いていない本に興味がある人にはいいかもしれません。

色々と難しいのは分かっていますが、個人所蔵の本もできるとさらに良いです。これはいわゆるコレクターというか古本（本当に年代的に古い本）に対してはかなり役に立つし面白いはずです。高校の頃の国語の先生がそういうのが好きだったのでそれもふと思い出しました。この辺をどうにかして結集できないか、といったことも日々考えています。

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